Tečný prostor

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Definice

Pokud M {\displaystyle M} je hladká varieta a F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(M)} značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na M {\displaystyle M} , pak tečným prostorem T x M {\displaystyle T_{x}{}M} variety M {\displaystyle M} v bodě x ∈ M {\displaystyle x\in {}M} nazveme množinu všech funkcionálů W : F ( M ) → R {\displaystyle W:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow \mathbb {R} } splňujících:

  1. W ( α f + β g ) = α W ( f ) + β W ( g ) , W ∈ α , β ∈ R {\displaystyle W(\alpha {}f+\beta {}g)=\alpha \,W(f)+\beta \,W(g),\quad {}W\in \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } , f , g ∈ F ( M ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}
  2. W ( f g ) = f ( x ) W ( g ) + g ( x ) W ( f ) , f , g ∈ F ( M ) {\displaystyle W(fg)=f(x)\,W(g)+g(x)\,W(f),\quad {}f,g\in {\mathcal {F}}(M)}

Každý prvek T x M {\displaystyle T_{x}{}M} nazveme tečným vektorem M {\displaystyle M} v bodě x {\displaystyle x} .

Vlastnosti

Lineární struktura

Definujeme-li na T x M {\displaystyle T_{x}{}M} sčítání dvou prvků W , X ∈ T x M {\displaystyle W,X\in {}T_{x}{}M} ,

( W + X ) ( f ) := W ( f ) + X ( f ) , f ∈ F ( M ) {\displaystyle (W+X)(f):=W(f)+X(f),\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M)}
tvoří T x M {\displaystyle T_{x}{}M} vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety M {\displaystyle M} .

Tečný vektor v lokálních souřadnicích

Pokud máme na varietě M {\displaystyle M} lokální systém souřadnic ( O , y i ) {\displaystyle ({\mathcal {O}},y^{i})} , x ∈ O {\displaystyle x\in {\mathcal {O}}} , můžeme tečný vektor W ∈ T x M {\displaystyle W\in {}T_{x}{}M} rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí ( ∂ / ∂ y i ) i = 1 d i m M {\displaystyle \left(\partial /\partial {}y^{i}\right)_{i=1}^{\mathrm {dim} M}} :

W = ∑ i = 1 d i m M W ( y i ) ∂ ∂ y i | x {\displaystyle W=\sum _{i=1}^{\mathrm {dim} M}W(y^{i}){\frac {\partial }{\partial {}y^{i}}}|_{x}}

Příklad

Obr.2: Tečný vektor křivky γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} v bodě x {\displaystyle x}

Jestliže γ ( t ) : I → M {\displaystyle \gamma (t):I\rightarrow {}M} ( I {\displaystyle I} je otevřený interval v R {\displaystyle \mathbb {R} } ) je hladká křivka na varietě M {\displaystyle M} procházející bodem x ∈ M {\displaystyle x\in {}M} v t = 0 {\displaystyle t=0} , je zobrazení

v : f ↦ d d t ( f ∘ γ ) | t = 0 , f ∈ F ( M ) , {\displaystyle v:f\mapsto {}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(f\circ \gamma )|_{t=0},\quad {}f\in {\mathcal {F}}(M),}
tečným vektorem variety M {\displaystyle M} v bodě x {\displaystyle x} a současně tečným vektorem křivky γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} v x {\displaystyle x} .

Odkazy

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu tečný prostor na Wikimedia Commons

Literatura

  • Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
  • Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
  • Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995