Fonction zêta locale

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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice Z ( t ) {\displaystyle Z(t)} pour le nombre de solutions d'un ensemble d'équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps F k {\displaystyle F_{k}} de F.

L'analogie avec la fonction zêta de Riemann ζ vient de la considération de la dérivée logarithmique ζ ′ / ζ {\displaystyle \zeta '/\zeta } .

Étant donné F, il existe, à un isomorphisme près, un seul corps F k {\displaystyle F_{k}} tel que [ F k : F ] = k {\displaystyle [F_{k}:F]=k} , pour k = 1,2, … Étant donné un ensemble d'équations polynomiales — ou une variété algébrique V — définie sur F, nous pouvons compter le nombre N k {\displaystyle N_{k}} des solutions dans F k {\displaystyle F_{k}} et créer la fonction génératrice

G ( t ) = N 1 t + N 2 t 2 2 + ⋯ {\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\dotsb } .

La définition correcte pour Z(t) est de rendre log Z égal à G donc de poser Z = exp ⁡ ( G ) {\displaystyle Z=\exp(G)} .

Nous aurons Z(0) = 1 puisque G(0) = 0, et Z(t) est a priori une série formelle.

Exemples

Supposons que tous les N k {\displaystyle N_{k}\,} soient égaux à 1 ; ceci se produit par exemple, si nous démarrons avec une équation comme X = 0, c’est-à-dire que géométriquement, nous prenons pour V un point. Alors

G ( t ) = − log ⁡ ( 1 − t )   {\displaystyle G(t)=-\log(1-t)~}

est le développement d'un logarithme (pour |t| < 1). Dans ce cas, nous avons

Z ( t ) = 1 1 − t {\displaystyle Z(t)={\frac {1}{1-t}}} .

Pour prendre quelque chose de plus intéressant, soit V la droite projective sur F. Si F possède q éléments, alors elle a q + 1 points, incluant comme nous devons, le point à l'infini. Par conséquent, nous aurons

N k = q k + 1 {\displaystyle N_{k}=q_{k}+1\,}

et

G ( t ) = − log ⁡ ( 1 − t ) − log ⁡ ( 1 − q t ) {\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)\,} ,

pour |t| suffisamment petit.

Dans ce cas, nous avons

Z ( t ) = 1 ( 1 − t ) ( 1 − q t ) {\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\,} .

Le rapport entre les définitions de G et Z peut être expliqué de nombreuses manières. En pratique, cela rend Z une fonction rationnelle de t, quelque chose qui est intéressant même dans le cas où V est une courbe elliptique sur un corps fini.

Ce sont les fonctions Z qui sont conçues pour multiplier, pour obtenir les fonctions zêta globales. Celles-ci impliquent différents corps finis (par exemple la famille entière de corps Z/p.Z lorsque p parcourt l'ensemble des nombres premiers. Dans ce rapport, la variable t subit la substitution par p − s {\displaystyle p^{-s}} , où s {\displaystyle s} est la variable complexe traditionnellement utilisée dans les séries de Dirichlet.

Article détaillé : fonction zêta de Hasse-Weil.

Ceci explique aussi pourquoi on utilise la dérivée logarithmique par rapport à s {\displaystyle s} .

Avec cet arrangement, les produits de Z dans les deux cas sortent comme ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} et ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)} .

Hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis

Pour les courbes projectives C sur F qui sont non singulières, on peut montrer que

Z ( t ) = P ( t ) ( 1 − t ) ( 1 − q t ) {\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\,} ,

avec P(t) un polynôme, de degré 2g où g est le genre de C. L'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis établit que les racines de P ont pour module q–1/2, où q = |F|.

Par exemple, pour le cas des courbes elliptiques, il y a deux racines, et il est facile de montrer que leur produit est q−1. Le théorème de Hasse établit qu'elles ont le même module et ceci a des conséquences immédiates pour le nombre de points.

Weil a démontré ceci pour le cas général, aux environs de 1940 (CRAS, avril 1940) : il passa beaucoup de temps, dans les années qui suivirent, à préparer la géométrie algébrique impliquée. Ceci l'a conduit aux conjectures de Weil générales, finalement démontrées une génération plus tard.

Article détaillé : cohomologie étale, pour les formules de base de la théorie générale.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Local zeta-function » (voir la liste des auteurs).
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