Homologie de Floer

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L'homologie de Floer est une adaptation de l'homologie de Morse en dimension infinie.

Homologie de Floer symplectique

L'homologie de Floer symplectique (HFS) est une théorie homologique pour une variété symplectique munie d'un symplectomorphisme non-dégénéré. Si le symplectomorphisme est hamiltonien, l'homologie provient de l'étude de la fonctionnelle d'action symplectique sur le revêtement universel de l'espace des lacets de la variété symplectique. L'homologie de Floer symplectique est invariante par isotopie hamiltonienne du symplectomorphisme.

Le symplectomorphisme est dit non-dégénéré si 1 n'est pas une valeur propre de la dérivée du symplectomorphisme en un de ses points fixes. Cette condition entraîne que les points fixes sont isolés. L'homologie de Floer symplectique est l'homologie du complexe engendré par les points fixes du symplectomorphisme, muni d'une différentielle qui compte certaines courbes pseudo-holomorphes dans le produit de la droite réelle par le mapping torus du symplectomorphisme. Cet espace est lui-même une variété symplectique de dimension égale à celle de la variété symplectique de départ augmentée de 2. Pour un choix convenable de structure presque-complexe, les courbes holomorphes pointées dans cet espace ont deux extrémités cylindriques asymptotique aux boucles dans le mapping torus correspondant aux points fixes du symplectomorphisme.

L'homologie de Floer symplectique d'un symplectomorphisme hamiltonien est isomorphe à l'homologie singulière de la variété sous-jacente.

Notes et références

v · m Homologie et cohomologie
Conjectures	Conjecture de Hodge Conjecture de Tate (en) Conjectures de Weil Conjectures standard (en)
Axiomatisations	Axiomes d'Eilenberg-Steenrod Cohomologie de Weil Cohomologie de Bloch-Ogus Cohomologie de Brown-Peterson (en)
Théories homologiques et cohomologiques	Homologie singulière Homologie cellulaire Homologie simpliciale Homologie de Borel-Moore (en) Homologie de Khovanov (en) Homologie de Morse Homologie de Floer Homologie de Hochschild Homologie des groupes Homologie de Steenrod Homologie d'intersection (en) Cohomologie galoisienne Cohomologie d'Alexander-Spanier Cohomologie elliptique (en) Cohomologie de De Rham Cohomologie de Dolbeault Cohomologie de Čech Cohomologie de Hodge Cohomologie étale Cohomologie ℓ-adique Cohomologie cristalline Cohomologie à support compact (en) Cohomologie motivique K-théorie topologique
Outils	Cap-produit Classe fondamentale (en) Complexe différentiel Cup-produit Cycle algébrique Suite exacte Suite spectrale Théorème des coefficients universels Théorème de Künneth
Dualités	Dualité d'Alexander Dualité de Hodge Dualité d'Isbell (en) Dualité de Lefschetz (en) Dualité de Poincaré Dualité de Pontriaguine Dualité de Serre Dualité de Spanier-Whitehead (en) Dualité de Verdier (en)