Réduction de Gauss

En algèbre, la réduction de Gauss est un algorithme qui permet d'écrire toute forme quadratique comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes (une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables ; une forme linéaire est une combinaison linéaire de ces variables).

La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Cas de deux variables

Soit $q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ un tel polynôme, supposé non identiquement nul. Si le coefficient a est non nul, on procède par complétion du carré :

q(x,y)=a\left(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}xy\right)+cy^{2}=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}y\right)^{2}+\left({\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)y^{2}

Si a est nul et c non nul, on procède de même avec c. Si a et c sont tous deux nuls, on remarque que $bxy={\tfrac {b}{4}}\left((x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right).$

Cas général

On va montrer par récurrence forte sur n que pour toute forme quadratique q à n variables, il existe n combinaisons linéaires l_i des variables (autrement dit n formes linéaires) linéairement indépendantes et n nombres c_i tels que

q=\sum _{i=1}^{n}c_{i}l_{i}^{2}

Si n = 0, il n'y a rien à démontrer.

Supposons maintenant n > 0. Si q est nulle, c_i = 0 convient, avec (par exemple) l_i(x) = x_i. Supposons donc q non nulle et écrivons-la sous la forme :

q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i\leq n}a_{ii}x_{i}^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}

On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients $a_{ii}$ des termes carrés est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que $a_{11}\neq 0$ . On écrit séparément les termes où $x_{1}$ intervient :

q(x)=a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}+\sum _{2\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}

On écrit ces derniers sous forme canonique :

a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}=a_{11}\left(x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}\right)^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}\left(\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{i}\right)^{2}

On obtient ainsi que

q(x)=a_{11}\left(x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}\right)^{2}+q^{\prime }(x)=c_{1}l_{1}^{2}(x)+q^{\prime }(x)

où

$c_{1}=a_{11}$ et $l_{1}(x)=x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}$ ;
$q^{\prime }$ est un polynôme homogène de degré 2 par rapport à $x_{2},\ldots x_{n}$ .

L'hypothèse de récurrence nous dit que

q^{\prime }=\sum _{i=2}^{n}c_{i}l_{i}^{2}

où $l_{2},\dots ,l_{n}$ sont des combinaisons linéaires de $x_{2},\ldots ,x_{n}$ , indépendantes. La coordonnée $x_{1}$ n'apparaît pas dans leur écriture, et apparaît dans celle de $l_{1}$ . Il en résulte que les formes $(l_{i})_{1\leq i\leq n}$ sont encore indépendantes, d'où le résultat.

2) Tous les $a_{ii}$ sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers i et j distincts tels que $a_{ij}\not =0$ . Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de $a_{12}$ . On écrit $q(x)=2a_{12}x_{1}x_{2}+2x_{1}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)+2x_{2}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)+\sum _{3\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}$ . La somme des termes en $x_{1}$ ou $x_{2}$ s'écrit aussi $2\left(a_{12}x_{1}+\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)\left(x_{2}+{\frac {1}{a_{12}}}\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)-{\frac {2}{a_{12}}}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)$ . On voit que $q(x)$ est de la forme $2l_{1}(x)l_{2}(x)+q^{\prime }(x)$ , où $q^{\prime }$ ne dépend que de $x_{3},\ldots x_{n}$ . On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à $q^{\prime }$ , et en remarquant que $4l_{1}l_{2}=(l_{1}+l_{2})^{2}-(l_{1}-l_{2})^{2}$ . L'indépendance des formes $l_{i}$ se montre comme dans le premier cas.

Exemples

Soit $q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}.$ Alors $\quad q(x)=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-4x_{2}x_{3}=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-(x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}$ .
Autre exemple : $q(x)=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}.$ On a alors $q(x)=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})-x_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(x_{1}+x_{2}+2x_{3})^{2}-{\frac {1}{4}}(x_{1}-x_{2})^{2}-x_{3}^{2}.$

Remarques

Ces calculs sont valables pour tout corps de caractéristique différente de 2.
Le nombre de carrés est égal au rang de la forme quadratique étudiée.
Si les coefficients sont réels, le nombre de carrés positifs, comme de carrés négatifs, ne dépend pas de la méthode employée (loi d'inertie de Sylvester).