Funzionale di Minkowski

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un funzionale di Minkowski è una funzione che richiama il concetto di distanza tipico degli spazi vettoriali.

Dato uno spazio vettoriale reale o complesso ${\displaystyle X}$ ed un suo sottoinsieme ${\displaystyle K}$, si definisce il corrispondente funzionale di Minkowski:

${\displaystyle p_{K}:X\rightarrow [0,\infty )}$

come:

${\displaystyle p_{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}$

Tale funzionale è spesso detto gauge di ${\displaystyle K}$.

Si assume implicitamente nella definizione che ${\displaystyle 0\in K}$ e che l'insieme ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ non è vuoto. Affinché ${\displaystyle p_{K}}$ goda delle proprietà di una seminorma è necessario imporre alcune restrizioni sulla scelta di ${\displaystyle K}$:

• L'insieme ${\displaystyle K}$ è un insieme convesso, in modo che ${\displaystyle p_{K}}$ è subadditiva.
• Se ${\displaystyle K}$ è un insieme bilanciato, ovvero ${\displaystyle \alpha K\subset K}$ per tutti gli ${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$, si ha che ${\displaystyle p_{K}(\alpha x)=|\alpha |p_{K}(x)}$ per ogni ${\displaystyle \alpha }$, in modo che ${\displaystyle p_{K}}$ è omogenea.

Un insieme ${\displaystyle K}$ con tali proprietà è detto assolutamente convesso.

Ad esempio, si consideri uno spazio normato ${\displaystyle X}$ con norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$, e sia ${\displaystyle K'}$ la sfera unitaria in ${\displaystyle X}$. La funzione ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ data da:

${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK'\right\}}$

è la norma ${\displaystyle p(x)=\|x\|}$ su ${\displaystyle X}$. Si tratta di un esempio di funzionale di Minkowski.

Il fatto che ${\displaystyle K}$ è un insieme convesso implica la subadditività di ${\displaystyle p_{K}}$. Infatti, si supponga che ${\displaystyle p_{K}(x)=p_{K}(y)=r}$. Allora per tutti gli ${\displaystyle \epsilon >0}$ si ha ${\displaystyle x,y\in (r+\epsilon )K=K'}$. L'assunzione che ${\displaystyle K}$ sia convesso implica che lo è anche ${\displaystyle K'}$, e quindi ${\displaystyle x/2+y/2\in K'}$. Per definizione di funzionale di Minkowski ${\displaystyle p_{K}}$ si ha:

${\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon }$

Ma il membro di sinistra è ${\displaystyle 1/2[p_{K}(x+y)]}$, cioè la precedente relazione diventa:

${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \qquad \forall \epsilon >0}$

che è la disuguaglianza cercata. Il caso generale ${\displaystyle p_{K}(x)>p_{K}(y)}$ segue in modo ovvio.

Si nota che la convessità di ${\displaystyle K}$, insieme all'assunzione che ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ non è vuoto, implica che ${\displaystyle K}$ è un insieme assorbente.

Il fatto che ${\displaystyle K}$ sia bilanciato implica inoltre che ${\displaystyle \lambda x\in rK}$ se e solo se ${\displaystyle x\in (r/|\lambda |)K}$, e quindi:

${\displaystyle p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x)}$

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle X}$ sul campo ${\displaystyle F}$, sia ${\displaystyle X'}$ il suo duale algebrico e siano ${\displaystyle \phi \in X'}$ i funzionali lineari definiti su ${\displaystyle X}$ che lo costituiscono. Si consideri l'insieme ${\displaystyle K}$ dato da:

${\displaystyle K=\{x\in X:|\phi (x)|\leq a\}\qquad a>0}$

e si definisca:

${\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}$

Allora:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{a}}|\phi (x)|}$

La funzione (non-negativa) ${\displaystyle p(x)}$ è un esempio di funzionale di Minkowski che è:

• subadditivo, ovvero ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$.
• omogeneo, ovvero ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x)}$ per tutti gli ${\displaystyle \alpha \in K}$.

Quindi ${\displaystyle p}$ è una seminorma su ${\displaystyle X}$, che lo munisce di una topologia. Si nota che ${\displaystyle p(x)=0}$ non implica ${\displaystyle x=0}$, e di conseguenza la topologia risultante da una famiglia di tali seminorme non è di Hausdorff.

• (EN) Anthony C. Thompson, Minkowski Geometry, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-40472-X.

• Funzione subadditiva
• Insieme convesso
• Seminorma
• Spazio botte

• (EN) Minkowski functional, in PlanetMath.
• (EN) Properties of Minkowski’s functional, in PlanetMath.

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