![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png) | Ten artykuł dotyczy twierdzenia z dziedziny algebry. Zobacz też: kryterium stabilności Hurwitza (Adolfa Hurwitza) z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce oraz kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji. |
Twierdzenie Hurwitza – twierdzenie dotyczące własności pierwiastków zespolonych pewnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Jego autorem jest niemiecki matematyk Adolf Hurwitz.
Twierdzenie
Niech
oznacza wielomian zmiennej zespolonej o współczynnikach rzeczywistych, przy czym
Dla tego, by wszystkie pierwiastki wielomianu
miały części rzeczywiste ujemne potrzeba i wystarcza, aby dodatnie były wszystkie wyznaczniki
![{\displaystyle W_{1}=a_{1},\quad W_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}\\a_{3}&a_{2}\end{vmatrix}},\quad W_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}\end{vmatrix}},\quad W_{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}\end{vmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fae97fe196672f529816b673c83487951a8035)
przy
dla ![{\displaystyle k>n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd425ae2f6622e843ad6430d869bfe40af10bc3)
Przykład
Dla wielomianu
![{\displaystyle f(z)=4z^{3}+8z^{2}+10z+12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83769cd47b3a396f052835c83fda39ca97894961)
mamy
![{\displaystyle W_{1}=10,\quad W_{2}={\begin{vmatrix}10&12\\4&8\end{vmatrix}}=32,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16689036ac792fa9e877204eaa64d3013691447)
![{\displaystyle W_{3}={\begin{vmatrix}10&12&0\\4&8&10\\0&0&4\end{vmatrix}}=128,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1e66fa8552db85a5292f51ba3fc531d87af4bc)
zatem wszystkie pierwiastki tego wielomianu mają części rzeczywiste ujemne.
Zobacz też