Função de Legendre

Em matemática, as funções de Legendre Pλ, Qλ e as funções de Legendre associadas Pμ
λ, Qμ
λ são generalizações dos polinômios de Legendre para graus não inteiros.

Gráficos dos polinômios de Legendre associados Pm
5(x)

Equação diferencial

As funções de Legendre associadas são soluções da equação de Legendre

( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + [ λ ( λ + 1 ) − μ 2 1 − x 2 ] y = 0 , {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}

onde os números complexos λ e μ são denominados, respectivamente, grau e ordem das funções de Legendre associadas. As funções de Legendre são as funções de Legendre associadas de ordem μ=0.

Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares (em 1, −1 e ∞). Como toda equação deste tipo, ela pode ser convertida em uma equação diferencial hipergeométrica mediante uma mudança de variáveis, e sua solução pode ser expressa usando funções hipergeométricas.

Definição

Estas funções podem ser definidas para parâmetros e argumentos complexos gerais:

P λ μ ( z ) = 1 Γ ( 1 − μ ) [ 1 + z 1 − z ] μ / 2 2 F 1 ( − λ , λ + 1 ; 1 − μ ; 1 − z 2 ) , para    | 1 − z | < 2 {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}),\qquad {\text{para }}\ |1-z|<2}

onde Γ {\displaystyle \Gamma } é a função gama e 2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}} é a função hipergeométrica.

A equação diferencial de segunda ordem tem uma segunda solução, Q λ μ ( z ) {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)} , definida como:

Q λ μ ( z ) = π   Γ ( λ + μ + 1 ) 2 λ + 1 Γ ( λ + 3 / 2 ) e i μ π ( z 2 − 1 ) μ / 2 z λ + μ + 1 2 F 1 ( λ + μ + 1 2 , λ + μ + 2 2 ; λ + 3 2 ; 1 z 2 ) , para     | z | > 1. {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{para}}\ \ |z|>1.}

Representação integral

As funções de Legendre podem ser escritas como integrais de contorno. Por exemplo

P λ ( z ) = 1 2 π i ∫ 1 , z ( t 2 − 1 ) λ 2 λ ( t − z ) λ + 1 d t {\displaystyle P_{\lambda }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}

onde os contorno circulam em torno dos pontos 1 e z nos sentidos positivos, mas não circulam o ponto −1. Para x real

P s ( x ) = 1 2 π ∫ − π π ( x + x 2 − 1 cos ⁡ θ ) s d θ = 1 π ∫ 0 1 ( x + x 2 − 1 ( 2 t − 1 ) ) s d t t ( 1 − t ) , s ∈ C {\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }


Referências

  • Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc .
  • Snow, Chester (1952) [1942], Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office, MR0048145 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis, ISBN 978-0-521-58807-2, Cambridge University Press 

Ligações externas

  • Legendre function P on the Wolfram functions site.
  • Legendre function Q on the Wolfram functions site.
  • Associated Legendre function P on the Wolfram functions site.
  • Associated Legendre function Q on the Wolfram functions site.