Paridade de funções

Em matemática, a paridade de funções é um conceito sobre a simetria de funções.

Definição

Seja ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:

${\displaystyle x\in E\Longrightarrow -x\in E.}$

• Uma função ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ é dita par se

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

• Uma função ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ é dita ímpar se

${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

A nomenclatura provém do fato que a função ${\displaystyle f(x)=x^{k}}$ é impar se ${\displaystyle k}$ é um número ímpar e par se ${\displaystyle k}$ é um número par.

Exemplos

• ${\displaystyle f(x)=sen(x)}$ é uma função ímpar.
• ${\displaystyle f(x)=cos(x)}$ é uma função par.
• ${\displaystyle f(x)=tg(x)}$ é uma função ímpar.

Decomposição em funções par e ímpar

Toda função ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ definida em um conjunto ${\displaystyle E}$ simétrico em relação à origem pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar:

${\displaystyle f(x)=f_{i}(x)+f_{p}(x)=\left({\frac {f(x)-f(-x)}{2}}\right)+\left({\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\right)}$

Exemplo

Seja ${\displaystyle f(x)=e^{x},}$ temos:

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)+\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)=\mathrm {senh} \,(x)+\cosh(x)}$

Propriedades

• A única função par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula (${\displaystyle f(x)=0}$).
• Há funções que não são nem pares nem ímpares.
• Uma função ímpar definida na origem é nula na origem.
• A soma de duas funções de mesma paridade mantem essa paridade.
• O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.
• O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.
• A derivada de uma função par é uma função ímpar.
• A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Ver também

• Simetria
• Paridade

• Portal da matemática