正三十三角形 三十三角形(さんじゅうさんかくけい、さんじゅうさんかっけい、triacontatrigon)は、多角形の一つで、33本の辺と33個の頂点を持つ図形である。内角の和は5580°、対角線の本数は495本である。
正三十三角形
正三十三角形においては、中心角と外角は10.909…°で、内角は169.09…°となる。一辺の長さが a の正三十三角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {33}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{33}}\simeq 86.39791a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca9899e1cd72650415448c4c52e27a9777fd265)
は以下の関係式を用いて冪根で表せる。(正十一角形も参照)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{33}}=&\cos \left({\frac {8\pi }{11}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\\=&\cos {\frac {8\pi }{11}}\cos {\frac {2\pi }{3}}+\sin {\frac {8\pi }{11}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\\=&-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {8\pi }{11}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin {\frac {8\pi }{11}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4f5174c7d9c1fda2293d0b0e997ab42057d349)
- 関係式
Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}\\&+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {22\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=-1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42ee53496a7ac5f1373276dbdd79135acfbea6f)
ここで、以下の関係式を使って
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {22\pi }{33}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{33}}+2\cos {\frac {12\pi }{33}}+2\cos {\frac {18\pi }{33}}+2\cos {\frac {24\pi }{33}}+2\cos {\frac {30\pi }{33}}\\&=2\cos {\frac {2\pi }{11}}+2\cos {\frac {4\pi }{11}}+2\cos {\frac {6\pi }{11}}+2\cos {\frac {8\pi }{11}}+2\cos {\frac {10\pi }{11}}=-1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea40084a44bf3c442c96066d923dfb5f73cdd50)
整理すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c7b6f0d4e390baa0462beed0fdbece04999e5d)
以下のように定義すると(角度を5倍して振り分ける)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7b8b58abc255b140f492e0a5ac769346932e78)
以下の値が求められる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=33\\&\alpha -\beta ={\sqrt {33}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e2d7ed353f0d65f3bc63e33fc3fc577a2108c3)
正三十三角形の作図
正三十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正三十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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