正四十五角形 四十五角形(よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon)は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。
正四十五角形
正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {45}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{45}}\simeq 160.8825a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe3ee760b7be2e1816428e7a1760cafb13beb5c)
を平方根と立方根で表すと、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{45}}=&\cos \left({\frac {\pi }{9}}-{\frac {\pi }{15}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {\pi }{15}}+\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {\pi }{15}}\\=&{\frac {{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{\frac {i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\=&{\frac {1}{32}}\left(\left({{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}\right)\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4a57ca43e30f3b77980e2a1b287f180f84aec8)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {4\pi }{45}}+2\cos {\frac {26\pi }{45}}+2\cos {\frac {34\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {8\pi }{45}}+2\cos {\frac {38\pi }{45}}+2\cos {\frac {22\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {16\pi }{45}}+2\cos {\frac {14\pi }{45}}+2\cos {\frac {44\pi }{45}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea96f99e5f89838f53a5f92cd488254b1742edf)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{45}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}=2\cos {\frac {2\pi }{15}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3168c7d0f99dab912370ed8751f8639b336ba84)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{15}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8819b4a04b7067d90ba206c628dfd2b1a160353)
三次方程式を解いて、整理すると
が求められる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}+i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}-i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}+i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}-i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\\\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b02e1dd734bdaa3a03958072b3dbf1a21976489)
正四十五角形の作図
正四十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正四十五角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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