双心四角形

双心四角形（そうしんしかっけい、Bicentric Quadrilateral）とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。双心多角形（英語版）の一種。

面積の公式

4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。

S = √abcd

より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、${\displaystyle t={\frac {A+C}{2}}}$ とおくと次で与えられる。

S = √abcd sin t

双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。

証明

双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。

S = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ただし ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので

a + c = b + d = s

したがって

s − a = c

s − c = a

s − b = d

s − d = b

ゆえに

S = √abcd

（証終）

外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。

外接円と内接円の関係

外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、

2r²(R² + d²) = (R² − d²)²

が成り立つ。

関連項目

• ブラーマグプタの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Bicentric Quadrilateral". mathworld.wolfram.com (英語).